[2016.01.04] Dimension of Matrix Groups

차원(dimension)은 어떻게 정의되는가? 선형대수학 시간에 배우는 방법에 의하면, 차원은 벡터공간에서의 선형독립인 원소 개수의 최댓값으로 정의할 수 있겠다.

하지만, 차원이라는 개념은 벡터 공간 이외로도 확장될 수 있다. 예를 들어 실수 상의 3 \times 3 가역행렬의 군 \text{GL} _3 (\mathbb{R})의 차원은 얼마일까? 일반적으로 이는 임의의 행렬에서 행렬식이 0이 아닌 constraint를 주었기 때문에 차원이 줄어들지 않을 것이고, 모든 3 \times 3 행렬의 차원은 9임이 자명하므로 \text{GL} _3 (\mathbb{R})의 차원 역시 9일 것이라고 추측할 수 있다. 이러한 ‘추측’은 성립하는가?

결론부터 말하자면 처음부터 틀린 접근이다. 기본적으로 행렬군의 차원이라는 것을 정의하지 않았으며(사실 scalar가 \mathbb{R}인지 어쩐지도 정의하지 않았다!), 행렬군은 vector space가 아니므로 선형 독립인 원소를 기반으로 차원을 정의할 수 없다. 하지만 위의 접근이나 직관을 생각해 볼 때, \text{GL} _3 (\mathbb{R})의 차원은 9여야 할 것 같고, 만약 constraint가 더 주어질 경우 차원은 그에 비례하여 줄어들어야 할 것 같다. 이러한 성질을 가지게 차원을 정의할 수 있을까? 그러한 차원은 어디에 쓰이는 것일까?

이러한 문제들을 해결하기 위해, 우선 Lie Algebra를 정의한다.

정의 1. 주어진 field \mathbf{k}에 대해, \mathbf{k} -Lie Algebra\mathbf{k} -벡터공간 \mathfrak{a} 과 Lie Bracket이라 부르는 \mathbf{k}-bilinear map [ , ] : \mathfrak{a} \times \mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{a}가 존재해

  • [x,y]=-[y,x] (Skew symmetry)
  • [x,[y,z]]+[y,[x,z]]+[z,[x,y]] = 0 (Jacobi identity)

기본적으로 벡터공간이야 그렇다 치고, Lie Bracket에는 뭐가 있을까. 얼마 없을 것 같지만 의외로 있다.

예시. \mathfrak{a} = \mathbb{R}^3에서, 외적 (\mathbf{a} , \mathbf{b}) \rightarrow \mathbf{a} \times \mathbf{b}는 Lie Bracket이 된다.

예시. \mathfrak{a} = \text{Mat} _n (\mathbb{R})에서, commutator [A,B] = AB-BA는 Lie Bracket이 된다.

Lie Algebra도 일종의 Algebra이므로, algebra와 유사한 여러 정의 및 성질들을 정의할 수 있다. 후에 논의할 때 간단하게 정의하도록 하자.

본론으로 넘어가자. 당연히 Lie Algebra는 벡터공간이므로 차원을 정의할 수 있다. 하지만 이를 어떻게 group과 연관시키는가? 만약 group을 적당히 Lie Algebra와 연관시킬 수 있다면 좋을 것이다.

이를 위해 접선공간(Tangent Space)를 만든다: 주어진 행렬군 상에 있는 curve를 생각해, 그 도함수의 값을 살펴보자. 다시 말해,

정의. 행렬군 G와, U \in G에 대해, U에서의 G의 접선공간을

T_U G = \{ \gamma ' (0) \in \text{Mat} _n (\mathbf{k} ) | \gamma \gamma (0) = UG 상의 미분 가능한 curve\}

과 같이 정의한다.

이 경우, 아래를 보일 수 있다.

정리. T_I (G)는 $latex \text{Mat} _n (\mathbf{k})$의 \mathbf{k}-Lie subalgebra가 된다.

증명. T_I (G)가 덧셈, 스칼라곱 및 Lie Bracket에 대해 닫혀 있음을 보이면 된다.

  • 덧셈 : 주어진 두 curve \alpha, \beta에 대해, \gamma = \alpha \beta\gamma ' (0) = \alpha ' (0) + \beta ' (0)를 만족한다.
  • 스칼라곱 : 주어진 한 curve \alphac \in \mathbf{k} 에 대해, \gamma = c \alpha\gamma ' (0) = c \alpha ' (0)을 만족한다.
  • commutator : 주어진 두 curve \alpha, \beta에 대해, 2차원 함수 F(s,t) = \alpha (s) \beta (t) \alpha (s) ^{-1} 을 정의하자. 이 때, 고정된 s에 대해, dF(s,t)/dt |_{t=0} = \alpha (s) \beta ' (0) \alpha (s)^{-1} 가  T_I (G)의 원소이며 이 때, 접선공간은 닫힌 집합이므로 이에 상수곱 및 극한은 취해도 여전히 T_I (G)의 원소가 되며, 따라서d \alpha (s) \beta ' (0) \alpha (s) ^ {-1}/ds |_ {s = 0 } = \alpha ' (0) \beta ' (0) - \beta ' (0) \alpha ' (0) 역시 T_I (G)의 원소가 된다.

이로써, 행렬군으로부터 접선공간을 만들 수 있고, 이것이 위에서 정의한 Lie algebra가 됨을 확인할 수 있다. 이제 행렬군의 차원을 정의할 수 있다.

정의. 행렬군 G의 차원\text {dim} _{\mathbf{k}} G = \text{dim} _{\mathbf{k}} T_I G로 정의한다.

이제, 맨 위에서 보였던 \text {GL} _n (\mathbb{R} ) \text {SL} _n (\mathbb{R}) 의 차원을 구해보는 것으로 마치고자 한다.

예시.  A \in \text {Mat} _n (\mathbb{R} )에 대해, \text {GL} _n (\mathbb{R} )  상의 curve \gamma (t)\text {exp} (tA) = \sum_{i=0}^{\infty} (tA)^i / i!와 같이 정의하자. 실수의 그것과 같이 이것이 모든 t에 대해 정의되며, 이 때 \gamma는 미분 가능하며 \gamma '(0) = A 따라서 \text{GL} _n (\mathbb{R} ) 의 접선공간은  \text {Mat} _n (\mathbb{R} ) 가 되며, 따라서 차원은 n^2가 됨을 금방 확인할 수 있다.

예시. 위에서 거론한 \text {exp} (tA)에 대해, 그 행렬식이 e^{ \text {tr} (A) } 로 주어짐을 금방 확인할 수 있다. 따라서 \text {SL} _n (\mathbb{R}) 의 접선공간은 \{ A \in \text{Mat} _n (\mathbb{R} ) |\text{tr} (A) = 0 \}에 대응하며, 따라서 차원은 n^2 -1.

더욱 자세한 내용은 학부 행렬군론 시간에 좀더 자세히 배울 수 있다. 너무 길어질 것 같아 생략.

 

출처: Andrew Baker, Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Springer, pp. 67~97

[2016.01.04] Dimension of Matrix Groups